\subsection{Geometriske ligninger}
\label{modelbestemmelse-kran-geometriskeligninger}
\begin{wrapfigure}{r}{0.45\textwidth}
\vspace{-20pt}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{billeder/modellering/fritlegemegeo.pdf}
\end{center}
\vspace{-20pt}
\caption{Slædens og lastens sammenhæng i koordinatsystemet.}
\label{fig:kran-geo}
\vspace{-10pt}
\end{wrapfigure}
%Til at beskrive lastens position, hastighed og acceleration opstilles her geometriske ligninger. Disse ligninger opstilles på baggrund af figur \ref{fig:kran-geo}.\\
%Slæden bevæges af motoren i x-aksens retning, men er, rent fysisk, begrænset til bevægelse hvor $y=0$. Lasten, derimod, bevæges af motorer både i x- og y-aksens retning. Dette betyder, at der opstilles positions- og accelerationsudtryk for begge retninger. På figur \ref{fig:kran-geo} ses desuden, at snorlængden og -vinklen er tidsafhængige, hvilket undlades under opstilling af ligninger. Det samme gør sig gældende for positioner, hastigheder og accelerationer.\\
%Udtrykket for de to positioner er, for overskuelighedens skyld udtrykt ved en vektor, opstillet i ligning \eqref{eq:kran-geo-lastpos}.
Det er nødvendigt at bestemme sammenhængen mellem lasten og slædens hastighed, hvorfor der er opstillet geometriske ligninger for deres respektive position via henholdsvis $x$- og $y$-aksen.\\
Af figur \ref{fig:kran-geo} kan relationen mellem slædens og lastens hastighed, på baggrund af vinklen, $\theta_\text{last}$, findes.\\
Der er i ligningerne \eqref{eq:kran-geo-lastpos} taget udgangspunkt i slædens position og fundet lastens ud fra denne.\\
For at få hastighedsudtrykkene, som benyttes under modelleringen, tages den tidsafledte af \textbf{p}, hvilket ligning \eqref{eq:kran-geo-lasthas} viser resultatet af. Accelerationsudtrykkene, som også bruges under modelleringen, fåes ved at tage den anden tidsafledte af \textbf{p}, som er vist i ligning \eqref{eq:kran-geo-lastacc}.
\begin{IEEEeqnarray}{l}
\label{eq:kran-geo-lastpos}
\textbf{p} =
\begin{bmatrix}
x_\text{last}\\
y_\text{last}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
x_\text{slæde} + l_\text{s} \cdot \sin\left(\theta_\text{last}\right)\\
l_\text{s} \cdot \cos\left(\theta_\text{last}\right)
\end{bmatrix}
\end{IEEEeqnarray}
\begin{IEEEeqnarray}{l}
\label{eq:kran-geo-lasthas}
\dot{\textbf{p}} =
\begin{bmatrix}
\dot{x}_\text{last}\\
\dot{y}_\text{last}
\end{bmatrix} 
=
\begin{bmatrix}
\dot{x}_\text{slæde} + \dot{l}_\text{s} \cdot \sin\left(\theta_\text{last}\right)+ l_\text{s} \cdot \dot{\theta}_\text{last} \cdot \cos\left(\theta_\text{last}\right) \\
\dot{l}_\text{s} \cdot \cos\left(\theta_\text{last}\right) - l_\text{s} \cdot \dot{\theta}_\text{last} \cdot \sin\left(\theta_\text{last}\right)
\end{bmatrix}
\end{IEEEeqnarray}
\begin{IEEEeqnarray}{l}
\label{eq:kran-geo-lastacc}
\hspace{-20pt}
\ddot{\textbf{p}}
=
\begin{bmatrix}
\ddot{x}_\text{last}\\
\ddot{y}_\text{last}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\ddot{x}_\text{slæde} + \cos(\theta_\text{last}) \cdot \left(l_\text{s} \cdot \ddot{\theta}_\text{last} +2 \cdot \dot{l}_\text{s} \cdot \dot{\theta}_\text{last}\right) + \sin(\theta_\text{last}) \cdot \left(\ddot{l}_\text{s} - l_\text{s} \cdot \dot{\theta}_\text{last}^2\right)\\
\cos(\theta_\text{last}) \cdot \left(\ddot{l}_\text{s} - l_\text{s} \cdot \dot{\theta}_\text{last}^2\right) - \sin(\theta_\text{last}) \cdot \left(l_\text{s} \cdot \ddot{\theta}_\text{last} + 2 \cdot \dot{l}_\text{s} \cdot \dot{\theta}_\text{last}\right)
\end{bmatrix}
\end{IEEEeqnarray}
\begin{tabbing}
Hvor: \= $\textbf{p}$ er lastens positionsvektor [m] \\
\> $x_\text{last}$ er lastens position i $x$-retningen [m]\\
\> $y_\text{last}$ er lastens position i $y$-retningen [m]\\
\> $x_\text{slæde}$ er slædens position i $x$-retningen [m]\\
\> $l_\text{s}$ er snorlængden [m]\\
\> $\theta_\text{last}$ er snorens vinkel i forhold til lodret [$\degree$]
\end{tabbing}

For at bestemme lastens position skal snorens længde kendes. Der er derfor opstillet et udtryk for snorens længde ved brug af motorens vinkel.

\begin{IEEEeqnarray}{rCl}
 l_{\text{s}} = 2 \cdot \pi \cdot r_{\text{5,y}} \cdot N_{\text{y}} \cdot \frac{\theta_{\text{m,y}}}{2 \cdot \pi} = r_{\text{5,y}} \cdot N_{\text{y}} \cdot \theta_{\text{m,y}}
\end{IEEEeqnarray}
